«C’est intéressant de noter que je me suis d’abord intéressé à la physique parce qu’on parlait souvent d’Einstein, de la relativité et de sujets similaires», confie-t-il. «En revanche, je n’ai jamais vraiment eu l’occasion d’apprécier les mathématiques avant l’université, car on n’en parlait rarement de la même manière que de la physique, avec de grandes énigmes fascinantes et non résolues. Beaucoup d’entre eux peuvent pourtant être expliqués au grand public. Je pense même que je croyais que les mathématiques étaient un domaine terminé, où il n’y avait plus rien à découvrir ni à rechercher.» Le professeur Karlsson explique qu’en commençant à étudier les mathématiques à un niveau plus avancé, il s’est rendu compte qu’il les trouvait beaucoup plus «logiquement satisfaisantes» que la physique. Si le but ultime de toute science est de comprendre le fonctionnement de la nature, les mathématiques se distinguent par leur construction: elles partent d’axiomes puis construisent de nouvelles notions en s’y basant. En d’autres termes, contrairement à la biologie, la chimie ou la physique, les mathématiques ne cherchent pas à expliquer quelque chose qui existe déjà, mais développent de nouvelles structures à partir de fondations qu’elles-mêmes créées. C’est ce qui permet aux mathématiques de conserver une précision et une cohérence internes – fondées sur la logique et les axiomes – tandis que la physique, par exemple, repose sur l’observation et l’expérimentation, et doit donc toujours se contenter des approximations et des limites de la mesure.

C’est vraiment regrettable que, contrairement à la physique par exemple, on entende peu parler des grandes énigmes et problèmes non résolus des mathématiques. Beaucoup d’entre eux peuvent pourtant être expliqués au grand public.

«Comment avez-vous décidé de votre domaine de prédilection en mathématiques?» En réponse, le professeur Karlsson explique qu’il a toujours observé une forte interconnexion à travers les mathématiques, ce qui l’a amené à vouloir se concentrer sur quelque chose de central – un sujet en lien avec la plupart des autres domaines. De nombreuses branches des mathématiques partagent des problématiques similaires, mais qui peuvent parfois être formulées de manières totalement différentes – ce qu’il trouve particulièrement fascinant. «En ce moment, je travaille sur les applications d’un nouveau théorème du point fixe pour les isométries, dans la théorie des opérateurs et l’apprentissage automatique», explique le professeur. Un théorème du point fixe est un résultat mathématique qui garantit l’existence d’objets qui restent inchangés sous certaines transformations; les isométries sont des transformations qui conservent les distances, comme les rotations ou les réflexions. Ce type de résultat peut s’appliquer à la théorie des opérateurs, qui étudie les transformations linéaires d’espaces de fonctions, mais aussi à l’apprentissage automatique, où la compréhension de la structure des données et des transformations est cruciale pour le développement d’algorithmes. «Dans une autre direction, j’étudie les invariants spectraux de limites de graphes – comme en physique mathématique – en tant qu’approche à la théorie analytique des nombres, notamment pour mieux comprendre la structure des zéros et des valeurs spéciales des fonctions L de Dirichlet.» Les invariants spectraux sont des propriétés liées au spectre, c’est-à-dire aux valeurs propres de graphes – analogues aux fréquences d’une corde vibrante – qui, là encore, restent inchangées sous certaines transformations. Étudier les limites de graphes revient à analyser ce qui se passe lorsque les graphes deviennent infiniment grands. Ces résultats fournissent des outils pour aborder des questions de théorie analytique des nombres, un domaine qui utilise le calcul et l’analyse complexe pour étudier les nombres. L’objectif est en particulier de mieux comprendre les fonctions L de Dirichlet, objets centraux en théorie des nombres et liés aux nombres premiers. Mieux saisir les zéros et les valeurs spéciales de ces fonctions permettrait de révéler des structures profondes et des motifs fondamentaux en mathématiques.

En ce moment, je travaille sur les applications d’un nouveau théorème du point fixe pour les isométries, dans la théorie des opérateurs et l’apprentissage automatique. Dans une autre direction, j’étudie les invariants spectraux de limites de graphes – comme en physique mathématique – en tant qu’approche à la théorie analytique des nombres, notamment pour mieux comprendre la structure des zéros et des valeurs spéciales des fonctions L de Dirichlet.

Le professeur Karlsson éprouvait une profonde admiration et un grand respect pour les chercheurs avant d’en devenir un lui-même. Après tout, découvrir de nouveaux concepts et résultats à l’aide de seulement du papier et d’un crayon peut sembler une tâche très compliquée, n’est-ce pas? Mais une fois entré dans le domaine, il a été surpris de constater que, dès qu’on se plonge dans un sujet, il est en réalité tout à fait possible de progresser et de trouver de nouveaux théorèmes. Il existe une multitude de problèmes ouverts sur lesquels travailler, même s’il n’est pas toujours évident de choisir les directions les plus fécondes. «Ma première véritable immersion dans la recherche était lors de mon doctorat à l’université Yale», raconte le professeur Karlsson. «À l’époque où j’y étais, plusieurs des professeurs avaient fait des découvertes fondamentales bien des années auparavant, et étaient lauréats des distinctions les plus prestigieuses.» En travaillant dans d’autres universités par la suite, il a constaté que la recherche n’était pas partout perçue de la même manière, ce qui lui a permis de se rendre compte qu’on accorde parfois trop d’importance à ce qui est considéré comme important à un instant donné, plutôt qu’à une perspective à long terme. Malheureusement, cela signifie aussi qu’une carrière en mathématiques ne dépend pas uniquement du talent et des résultats de recherche – même un excellent article portant sur un sujet qui n’est pas à la mode peut ne pas recevoir l’attention qu’il mérite. À l’inverse, les publications dans des domaines plus en vogue attirent souvent davantage d’intérêt, même lorsqu’elles ne sont pas particulièrement innovantes. Cependant, il est vrai qu’une forte concentration sur certains de ces thèmes peut être essentielle pour faire avancer le domaine. «De l’extérieur, on peut avoir une vision idéalisée du monde de la recherche – une communauté de personnes passionnées, toutes travaillant en harmonie pour faire progresser la science. Mais la réalité est plus complexe et imparfaite», explique le professeur. Le temps est également un juge – comme l’a dit le célèbre mathématicien G.H. Hardy, beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics. La beauté est le premier critère: il n’y a pas de place permanente pour des mathématiques laides.

Le temps est également un juge – comme l’a dit le célèbre mathématicien G.H. Hardy, la beauté est le premier critère: il n’y a pas de place permanente pour des mathématiques laides.

En effet, de nombreux concepts théoriques en mathématiques peuvent, à première vue, sembler abstraits ou même inutiles, mais l’histoire a montré que la théorie trouve souvent des applications pratiques bien plus tard – parfois des décennies ou même des siècles après. Un exemple classique est l’algèbre de Boole, développée au milieu du XIXe siècle par George Boole. À l’époque, son travail était considéré comme purement théorique, sans utilité apparente en dehors de la logique symbolique. Pourtant, aujourd’hui, l’algèbre de Boole constitue le fondement de la logique numérique et de l’informatique; elle est à la base de tout, de la conception des circuits aux algorithmes de recherche. C’est pourquoi faire avancer la théorie n’est pas qu’un exercice philosophique – cela pose souvent les bases de futures avancées, même si leur pertinence n’est pas immédiatement évidente. C’est un rappel que les mathématiques qui semblent «inutiles» peuvent façonner le monde d’une manière encore imprévisible. L’utilisation de la théorie des nombres en cryptographie en est un autre exemple. «En général, parfois un problème résiste ou toutes les approches semblent maladroites, mais puis, dans les bons moments, il arrive soudain qu’on le perçoive de la bonne manière, et tout devient simple et cohérent. C’est ce qu’est cette composante esthétique des mathématiques évoquée plus tôt, avec leur remarquable cohérence et leur capacité à unifier. Pour moi, un beau résultat mathématique peut souvent se caractériser par trois qualités: la simplicité, la profondeur et l’inattendu. Mais c’est ce qui différencie les mathématiques de la vie réelle – comme décrit dans les livres de Dante, dès qu’on essaie de formuler un principe à partir de l’expérience présente, on peut être sûr que quelques jours ou chants plus tard, quelque chose viendra compliquer ce principe…»

Pour moi, un beau résultat mathématique peut souvent se caractériser par trois qualités: la simplicité, la profondeur et l’inattendu.

Il est intéressant de constater les évolutions des centres d’intérêt en mathématiques au fil du temps. Dans les années 1960, marquées par un accent mis sur les idées plus abstraites, Grothendieck a révolutionné la géométrie algébrique et la théorie des nombres. Avec l’essor de l’informatique, les systèmes dynamiques et la théorie du chaos sont devenus des domaines très actifs. Selon le professeur Karlsson, la théorie des probabilités est devenue, ces dernières décennies, plus centrale que jamais. Plus récemment, il a eu un grand intérêt collectif pour les réseaux de neurones et l’apprentissage automatique, qui forment l’intelligence artificielle actuelle. Cette technologie est bien plus mathématique que ne le laisse entendre le discours médiatique et public, et ce sujet se distingue par son ampleur et son urgence sans précédent, comparé aux tendances mentionnées plus haut.

Cet article fait partie d'une série en trois parties rédigée par les bénévoles Yuta Mikhalkin et Tanish Patil. Lisez également les conversations avec David Cimasoni et Michelle Bucher !

«Sur ce point, si je peux me permettre un dernier commentaire général, ce serait le suivant: tout le monde est d’accord que l’intelligence artificielle doit être entraînée sur les meilleures données possibles qui existent», partage Karlsson. «Si l’on inverse le sens habituel de la métaphore de l’intelligence, alors les êtres humains devraient de même s’entraîner sur ce qui a été pensé, créé et écrit de meilleur – lire et étudier les œuvres canoniques de la littérature, en particulier Shakespeare et Dante. Il semble pourtant y avoir un malentendu à ce sujet.» En plus des classiques littéraires, le professeur a aussi quelques autres recommandations pour les scientifiques en devenir. «En plus de ce que j’ai déjà mentionné sur le fait de poursuivre des sujets par passion plutôt que par utilité, un bon conseil pour les jeunes mathématiciens est de ne pas se comparer aux autres, chacun a des forces différentes», déclare le professeur. «Le fait de savoir moins que quelqu’un d’autre ne signifie pas automatiquement que vous êtes moins intelligent ou que vous aurez moins de succès dans votre carrière. Il est également toujours important d’avoir confiance en ses idées et de les développer, même si l’on n’est pas certain qu’elles vont aboutir – si l’on doute constamment de soi et que l’on pense que rien n’est assez bien, il sera difficile de progresser. Il est crucial d’avoir confiance en soi-même pour être créatif et trouver des solutions, même après des échecs! Et d’être guidé par la beauté!»

Il est crucial d’avoir confiance en soi-même pour être créatif et trouver des solutions, même après des échecs! Et d’être guidé par la beauté!