Mathematik
In den ersten zwei Runden der Mathematik-Olympiade werden drei Themengebieten der Mathematik behandelt: die Zahlentheorie, die Kombinatorik und die Geometrie. Im Final kommt dann zusätzlich noch die Algebra dazu. Hier findest du eine kurze Beschreibung für jedes der vier Themengebiete sowie jeweils zwei knifflige Beispielaufgaben.
Zahlentheorie
Die Zahlentheorie beschäftigt sich mit den ganzen Zahlen $\dots, -2, -1, 0, 1, 2,\dots$ und deren unzähligen spannenden Eigenschaften. Die positiven ganzen Zahlen werden auch die natürlichen Zahlen genannt. Bei uns stehen vor allem die Konzepte der Teilbarkeit und insbesondere der Primzahlen im Vordergrund: Man sagt die ganze Zahl $a$ ist durch die ganze Zahl $b$ teilbar, falls man $a$ ohne Rest durch $b$ dividieren kann. Eine Primzahl ist demnach eine natürliche Zahl, welche nur durch exakt zwei verschiedene natürliche Zahlen teilbar ist, durch $1$ und durch sich selbst.
Beispielaufgaben
Problem 1: Sei $n$ eine ungerade ganze Zahl. Beweise, dass die Zahl $n^3 – n$ sicher durch $24$ teilbar ist.
Problem 2: Sei $n$ eine natürliche Zahl. Beweise, dass höchstens zwei der drei Zahlen $n + 5$, $n + 7$ und $n + 9$ Primzahlen sind.
Kombinatorik
In der Kombinatorik geht es darum diskrete mathematische Strukturen zu untersuchen, zu zählen, anzuordnen oder zu konstruieren. Vordergrund stehen vor allem die Konzepte Bijektion, Schubfachprinzip und Induktion. Typische Problemstellungen beginnen oft mit "Wie viele Möglichkeiten hat man, um ..." oder "Ist es möglich, dass ...".
Beispielaufgaben
Problem 1: Beweise, dass es unter jeder Gruppe von $6$ Personen immer entweder $3$ Personen gibt, die alle gegenseitig befreundet sind, oder $3$ Personen, die alle gegenseitig nicht befreundet sind.
Problem 2: Bei einem $8 \times 8$ Schachbrett werden zwei gegenüberliegende Eckfelder entfernt. Ist es möglich alle verbleibenden Felder mit $31$ Dominosteinen zu bedecken, angenommen ein Dominostein bedeckt jeweils zwei benachbarte Felder?
Geometrie
In der Geometrie befassen wir uns ausschliesslich mit Punkten, Geraden und Kreisen. Eine typische Problemstellung beschreibt eine allgemeine geometrische Konfiguration und die Aufgabe besteht jeweils darin eine gewisse Eigenschaft zu beweisen, welche für jede mögliche solche Konfiguration stimmt. Im Vordergrund stehen dabei die Konzepte Längenverhältnisse, Winkel und Symmetrie. Obwohl das sorgfältige Konstruieren mit Lineal und Zirkel nicht direkt Teil des Wettbewerbes ist, kann es jedoch oft von grossem Vorteil sein.
Beispielaufgaben
Problem 1: Beweise, dass in jedem konvexen Vieleck die Summe aller Innenwinkel gleich $180\cdot (n-2)$ Grad ist, wobei $n$ die Anzahl Eckpunkte des Vielecks ist.
Problem 2: Beweise, dass sich in jedem Dreieck alle drei Höhenlinien in genau einem Punkt schneiden.
Algebra
Die Algebra ist erst ab der Finalrunde Teil der Mathematik-Olympiade und wird in vier weitere Themengebiete unterteilt: Bei den Ungleichungen geht es darum zu beweisen, dass gewisse algebraische Terme immer kleiner, respektive grösser, als andere sind. Bei den Funktionalgleichungen geht es darum alle Funktionen zu finden, die gewisse Bedingungen erfüllen. Zu guten Letzt gibt es auch noch Aufgaben zu Folgen, bei denen es typischerweise darum geht gewisse Eigenschaften von unendlichen Zahlenfolgen zu beweisen. In der Selektionsrunde kommt dann auch noch die Theorie der Polynome dazu.
Beispielaufgaben
Problem 1: Beweise, dass für beliebige reelle Zahlen $a$, $b$ und $c$ die Ungleichung
$a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$ gilt.
Problem 2: Finde alle Funktionen $f$, definiert von den rationalen Zahlen zu den rationalen Zahlen, für welche $f(x+y) = f(x) + f(y)$ für alle rationalen Zahlen $x$, $y$ gilt.
Ressourcen
Wenn du wissen willst was dich in Sache Theorie an der Mathematik-Olympiade erwartet, schaue dir unsere Skripts an. Weitere Ressourcen und nützliche Tipps zur Vorbereitung findest du unter Training. Wenn du mehr Aufgaben im Mathematik-Olympiaden Stil lösen willst, um dich auf den Wettbewerb vorzubereiten oder einfach zum Spass, schau dir die Alten Prüfungen an. Sei dir aber bewusst, dass sich in den letzten Jahren einiges am Format und der Schwierigkeit der verschiedenen Runden geändert hat.